1.4 卡诺图

1.4.1 逻辑函数的最小项表达式

1.4.2 卡诺图的结构

1.4.3 卡诺图上的有用组合

1.4.4 用卡诺图简化逻辑函数
1.4.1 逻辑函数的最小项表达式
1. 什么是最小项
  一个逻辑函数，如果有n个变量，则有2n个最小项。

【例1】3变量A，B，C，有23＝8个最小项，其组合与编码如解题所示：

[解]

三变量的最小项与编码

变量组合 二进制编码 十进制编码
_ _ _
A B C
0 0 0 m0
_ _
A B C
0 0 1 m1
_
A B C
0 1 0 m2
_ _
A B C
0 1 1 m3
_
A B C
1 0 0 m4
_ _
A B C
1 0 1 m5
_
A B C
1 1 0 m6
　 　 　
A B C
1 1 1 m7
2. 最小项的特点（以三变量A，B，C为例）
  • 每项都只有三个因子（A，B，C）；
  • 每个变量都是它的一个因子；
  • 每一变量或以原变量(A，B，C)形式出现，或以非变量(A非，B非，C非)形式出现；
  • 每个乘积项的组合仅出现一次，且取值为1；
  • 最小项可以编码。
3. 最小项表达式及书写形式
  最小项表达式是由若干个最小项相加的与—或表达式。任何一个逻辑表达式都可以化成最小项表达式。

【例2】将
　　　　 _
F = AB+ AC

　　　化成最小项表达式。          

[解]

_
F = AB+ AC
_ _ _
= AB(C+ C)+ AC(B+ B)
_ _ _
= ABC+AB C+ABC+A BC

用十进制编码来写，F的最小项表达式可写为：

F（A，B，C）=m1+m3+m6+m7=∑m（1，3，6，7）
       
                   

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1.4.2 卡诺图的结构
  卡诺图是逻辑函数的图形表示。利用卡诺图可以简化逻辑函数。
1. 三变量卡诺图
B1-1.gif (1644字节)
  • 三变量卡诺图由8个最小项m0—m7组成，每个最小项占一个方格；
  • AB组合中左数位代表A变量，右数位代表B变量。沿横向从一个方格进行到下一个方格时，两个数位只变化一个；
  • 原变量与非变量各占4格。
2. 四变量卡诺图
B1-2.gif (2909字节)
  • 四变量卡诺图由16个最小项m0—m15组成，每个最小项占一个方格；
  • 纵向方向因有两个变量CD，增加了8个方格，CD变化规律同AB；
  • 原变量与非变量各占8格。

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1.4.3 卡诺图的有用组合
1. 二方格相邻组合
  • 几何相邻的两个最小项是逻辑相邻的（两个最小项中只有一个变量不同）；
  • 有些方格几何上不相邻，但逻辑上却是相邻的；
  • 任何两个最小项可以合并成最小项，且可减少一个变量。

【例3】四方格卡诺图中，有F（A，B，C，D）=∑m(2，3，8，10，12)                                                     

B1-3.gif (2257字节)
    第一种组合方式：
  _ _
m8+m12= A C D （几何相邻）
_ _
m2+m3= A B C （几何相邻）
_   _
m2+m10= B C D （几何不相邻，逻辑相邻）

    第二种组合方式：

  _ _
m8+m12= A C D
_ _
m2+m3= A B C
  _ _
m8+m10= A B D （几何不相邻，逻辑相邻）

　

F(A,B,C,D) =∑m(2,3,8,10,12)
   _ _   _ _     _   _
=A C D + A B C + B C D
   _ _   _ _       _ _
=A C D + A B C + A B D

    两种表达式虽然形式不同，但逻辑上是等价的。另外，m2、m8重复使用是允许的。

　
2. 四方格相邻组合
  四方格相邻时，4个最小项可合并成1项，且可消去两个变量。
B1-4.gif (8275字节)
    图(a)中，
_
F(A,B,C,D)=∑m(1,3,5,7)= AD

    图(b)中，

_
F(A,B,C,D)=∑m(1,5,9,13)= CD

    图(c)中，

F(A,B,C,D)=∑m(0,2,8,10)= ？

    图(d)中，

F(A,B,C,D)=∑m(4,6,12,14)= ？

　
3. 八方格相邻组合
  八方格相邻时，8个最小项可合并成1项，且可消去三个变量。
B1-5.gif (4348字节)
 

图（a)中，F（A，B，C，D）=∑m(0，1，2，3，4，5，6，7）=Ã
    图（b)中，F（A，B，C，D）=∑m(0，4，12，8，2，6，14，10)=？

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1.4.4 用卡诺图简化逻辑函数
1. 简化规则
  • 必须使每个方格（最小项）至少被包含一次；
  • 使每个组合包含尽可能多的方格；
  • 所有的方格包含在尽可能少的不同组合中。
2. 简化步骤
G1-10.jpg (30884字节)

[解]

    _     _   _ _ _       _   _     _
F = A B C D + A B C + A B C + C D + B D + A D

原始表达式有10个与项，9个或项。简化后变成6个与项，5个或项。

[解]

请你自己简化。
3. 逻辑函数未用最小项表示的简化
  逻辑函数未用最小项表示照样可以化简。如果F采用与—或表达式，在填入卡诺图过程中就能把函数展开成最小项。

[解]
               _ _
    F表达式中，A C和A不是最小项。在填入卡诺图过程中可以展开成最小
                      _

项。最后简化结果为F=A+C。

4. 具有无关项的化简
  无关项又叫任意项，是一种最小项，其值可以取0或1。利用无关项这一特点，可以使函数简化。

【例7】用卡诺图简化逻辑函数
  F（A，B，C，D）=∑m(0，3，4，7，11）+ ∑ø(8，9，12，13，14，15）

[解]

第一部分对应的最小项m0，m3，m4，m7，m11，取值为1；
第二部分对应的无关项m8，m9，m12，m13，m14，m15，逻辑值不定。
在简化过程中取0或1。如果都取0，则得表达式为

_ _ _ _ _
F=(m3+m7)+(m3+m11)+(m0+m4)= ACD+ BCD+ A C D

当m8，m12，m15均取1时，m9，m13,m14取0，则

_
F=(m0+m4+m8+m12)+(m3+m7+m11+m15)= CD+CD

显然，第二种方案好，它只用一个同或门。

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